Димитър Трифонов
 
           КЛАСИЧЕСКА  МЕХАНИКА

                          (София,  ИЯИЯЕ,  "Авангард", 2002)
 
 

     С Ъ Д Ъ Р Ж А Н И Е   (разширено)

       Предговор .................................................................................................... 5
       Използвани съкращения ..............................................................................6

Глава I.    ОСНОВНИ МЕХАНИЧНИ И ГЕОМЕТРИЧНИ ПОНЯТИЯ

   1. Основни понятия на класическата механика.............................................  7
       Основни понятия. Пространство и време. Механични величини.
         Състояния. Механични закони.

   2. Векторни и афинни пространства ............................................................13
        Векторно пространство. Комплексни векторни пространства. Алгебри*.
          Примери. Смяна на базата. Матриците като оператори. Вектори и тензори.
         Скаларно произведение и норма. Линейни функции от вектори.  Външни форми*.
         Афинно пространство. Разстояние. Паралелен пренос*. Примери. Многообразие*.
              Диференциални форми*. Норма и разстояние*.

   3. Декартови, сферични и цилиндрични координати ................................  29
       Криволинейни координати в E_n.  Градиент.*   Риманово пространство.*
        Сферични и цилиндрични координати в E_3.

   4. Обобщени координати, степени на свобода, връзки ............................. 34
       Степени на свобода и обобщени координати. Механични връзки.

        Резюме.  Задачи.
 

Глава II.  ЛАГРАНЖЕВА ФОРМУЛИРОВКА НА МЕХАНИКАТА

   5.  Принцип на най-малкото действие ............................................. 39
        Формулировка.  Уравнения на Лагранж. Свобода в избора на функцията
          на Лагранж.

   6. Уравнения на Лагранж за система от частици. Скъсено действие ...  45
        Свободна частица. Частица във външно поле.  N частици.  Обобщени импулси
         и сили. Забележка 1: Недекартови координати.  Забележка 2: Чувствителност на  p_i и f_i  към L.
         Обобщени потенциални сили и сили на триене. Скъсено  действие. Примери.
            Исторически бележки*.

         Резюме.
 

Глава III.   ИНВАРИАНТНОСТ И ЗАКОНИ ЗА ЗАПАЗВАНЕ

   7. Инвариантност и ковариантност на уравнения и величини ..............  59
        Координатни преобразувания и Уравнения на Лагранж.  Скаларни и
         инвариантни величини. Примери.  Ковариантност на уравненията на
         Лагранж. Скоростите и импулсите принадлежат на различни пространства*.
          Абсолютна, относителна и преносна обобщена скорост

   8. Механично подобие. Вириална теорема ...............................................71
        Мащабни преобразувания. Вириална теорема.

   9. Запазващи се величини в механиката ................................................. 74
         Дефиниция и брой. Детерминираност на движението.
        Запазване на енергията. Обобщена енергия и пълна енергия.
         Забележка 1:  Разлика в названията.  Запазване на импулса.
           Забележка 2.  Запазване на момента на импулса. Теорема на Ньотер.
        Циклични координати.

 10. Преобразуване на  E,  P и M. Принцип на  относителността ............ 84
       Транслация. Ротация. Група, група  на въртене*. Движение с постоянна
         скорост. Принцип на относителността.
 

Глава IV.   ЕДНОМЕРНИ И ДВУМЕРНИ СИСТЕМИ

  11. Едномерно движение .....  ........ ................................................. 95
       Свободна частица. Хармоничен осцилатор. Нестационарен осцилатор.
         Махало. Недекартови координати
 12. Двумерно движение ........................................................................103
       Двумерен осцилатор.  Двумерно махало. Движение по сфера.

 13. Движение в  централно поле  .......... ..... ........................................... 108
         Централно поле. Следствия от запазването на  E и M.  Затворени траектории
         и падане върxу центъра. Симетрия на траекториите.

 14. Кеплерова задача  ... ........................................................................ 112
         Кулоново поле. Конични сечения. Декартови координати. Закони на Кеплер.
         Вектор на Рунге-Ленц.

         Резюме.  Задачи.
 

Глава V.   СИСТЕМИ ОТ ЧАСТИЦИ

 15. Система от две частици ..... ........... ...................................................123
        Уравнения за движение в  L-система. Преход към  C-система. Примери.

 16.  Eлacтични yдapи нa чacтици ..... ......................................................126
        Дефиниция и запазващи се величини. Описание в  C-система.  Преход към
          L-система.

 17. Разсейване нa чacтици  ....................................................................130
       Неподвижен център. Сечение на разсейване. Кулонов център. Формула на
         Ръдърфорд. Подвижни мишени. Разпределения.
 

Глава VI.   ТРЕПТЕНИЯ НА МЕХАНИЧНИ СИСТЕМИ

 18. Малки трептения  ..... .........................................................................137
        s степени на свобода. Функция на Лагранж и уравнения на Лагранж.
        Собствени честоти. Нормални координати (моди).  Свързани махала.

 19. Затихващи и принудени трептения  ................ ............................... 144
        Затихващ и принуден осцилатор. Затихващ осцилатор. Дисипативна
         функция.  Функция на Лагранж за затихващ осцилатор. Принуден
         осцилатор.  Резонанс.

 20. Нелинейни трептения  ......................................................................150
        Анхармонични трептения. Примери на анхармонични трептения.

          Резюме. Задачи.
 

Глава VII.   ДВИЖЕНИЕ НА ТВЪРДО ТЯЛО

  21. Кинетична енергия и инерчен тензор  .......................................... 157
        Твърдо тяло. Ъглова скорост. Кинетична енергия. Инерчен тензор.
         Главни инерчни моменти и оси. Преобразуване на инерчния тензор при
         ротация и транслация.

 22. Уравнения за движение на твърдо тяло ......................................... 167
        Момент на импулса на твърдо тяло. Свободни оси на въртене. Функция на
         Лагранж и уравнения за движение. Преобразуване на М и К при транслация.
            Алтернативен извод на (7.39)*.

 23. Ъгли на Ойлер. Прецесия на пумпал ................ ........................... 174
         Ойлерови ъгли.Параметри на Кейли-Клайн. Унитарни матрици.*  Прецесия
         на  пумпал. Симетричен пумпал в полето на  тежеста. Задачи на Лагранж,
            на& Ойлер и на Ковалевска*.

 24. Движение в неинерциална отправна система ......... .................. 180
          A. Движение на частица. Инерциални и неинерциални отправни системи.
         Преобразуване на координатите и скоростите. Абсолютна, относителна и
         преносна скорости. Функция на Лагранж и уравнения за движение в К'.
         Векторна форма. Инерчни сили. Преобразуване на енергията и на момента
         на импулса. Б. Движение на твърдо тяло.
 

Глава VIII.    ХАМИЛТОНОВ ПОДХОД В МЕХАНИКАТА

 25. Канонични уравнения  ....................................................................195
        Функция на Хамилтон. Пример:  система от N частици*.  Преобразувание на
             Лежандър*.   Канонични уравнения. Исторически бележки.*  Доказателство на (8.1).*

 26. Развитие във времето и скобки на Поасон ........... ..... ...............  204
         Производна на механични величини по времето. Скобки на Поасон.
           Примери на поасонови скобки. Алгебра, генерирана от  M_i.  Теорема 1 (на Поасон).

 27. Уравнение на Хамилтон-Якоби  ...................................................  208
         Действието като функция на координатите и времето. Забележка.*
           Уравнение на Хамилтон-Якоби. Необходимо и достатъчно условие.

 28. Канонични преобразования  ......... .............................................. 214
      Канонични преобразувания. Критерии за каноничност: пораждащи функции и
       скобки на Поасон, Теорема 2. Пораждащи функции,   2^s на брой пораждащи функции.*
       Възстановяване на канонично преобразувание. Теорема 3.  Доказателство на Теорема 3.*
            Симплектични матрици.   Движението като канонична трансформация.
         Мащабните преобразувания като канонични.

 29. Обратна задача *   ......................................................................  235
       Права и обратна задача. Връщане към началните данни. Линеаризиране
         на  Хамилтониана.* Илюстриращи примери на решаване на обратната  задача
           (свободна частица, хармоничен осцилатор).*

 30. Фазово пространство  ..................................................................243
         Фазово пространство. Симплектична структура на фазовото пространство.*
         Фазови траектории. Теорема на Лиувил. Универсиални инварианти.
            Форма на обема. Фазов поток*.

           Резюме. Задачи.
 

Глава IX.   РЕЛАТИВИСТИЧНА МЕХАНИКА

  31. Принцип на относителността на Поанкаре-Айнщайн .............  255
        Преобразувания на Галилей и на Лоренц.  Преобразувания на Лоренц.
           Група на Лоренц.*  Принцип на относителността на Поанкаре-Айнщайн.
        Специални преобразувания на Лоренц.  Общи преобразувания на  Лоренц*.
        Собствено време и собствена дължина. Преобразуване на скорости.

 32. Пространство на събитията  ...................................................... 267
          Събития. Пространство на Минковски.  Релативистичен интервал.
         Светлинен конус. Четиримерни вектори и тензори.

 33. Релативистична механика на частица  ........ ................. ........   272
       Принцип на най-малкото действие и уравнения за движение. Енергия и
         импулс. Функция наХамилтон. Момент на импулса. Уравнение на
         Минковски.

 34. Тахиони*    ....... ......................................................................... 278
        Принцип на причинността. Функция на Лагранж, енергия и импулс на
         тахиона. Принцип на превключването. Брадион-тахионна симетрия.*
            Исторически бележки.*

           Резюме. Задачи.
 

 Приложение:    ЕЛЕМЕНТИ НА ВАРИАЦИОННОТО СМЯТАНЕ

  П1.  Функционали  .......................................................................... 286
  П2.  Екстремум на функционал  ...................................................... 288
          Примери: Функционали на дължината.
  П3.  Функционали на действието  ................................................... 294
  П4.  Делта-функция на Дирак  ......................................................... 295

    Литература     ................................................................................... 299
    Използвани означения  .......................................................................301
    Азбучен указател  ............................................................................ 303
    Contents (съдържание на английски)  ................................................307

    Параграфи и пунктове, означени със звездичка  *  при първо четене
     могат да се пропуснат. Такива пунктове има в повечето параграфи.