Даден е квадрат NxN, където N е цяло положително число, в който са записани числата от 1 до N².

Основно твърдение: Нека сумите от числата стоящи в първия и втория редове по отделно и в първата и втората колонки взети по отделно са равни на някакво число A и сумата от всеки елемент и симетричния му спрямо центъра елемент е постоянна и равна на A/2. Тогава N=4 и A=34, квадрата има всички свойства на квадрата на Дюрер и съществуват 384 такива квадрата, от които симетрично-независими са 12.
Забележка: Това твърдение допуска ред еквивалентни формулировки.

За да влезем в стандартната терминология, вместо за квадрат ще говорим за квадратна матрица, чийто елементи ще означим с a_ij където i,j=1,...,N. Тогава споменатите в горното твърдение условия изглеждат така:

a₁₁ + a₁₂ + ... + a_1N = A
a₂₁ + a₂₂ + ... + a_2N = A
a₁₁ + a₂₁ + ... + a_N1 = A
a₁₂ + a₂₂ + ... + a_N2 = A
a_ij + a_N+1-i,N+1-j = A/2 .

Елементарни следсвия от тези уравнения са:

1. Сумите от елементите на останалите редове и колонки е също равна на A и, следователно, сумите от елементите на всички редове и колонки е A.
2. Сумите от елементите по диагоналите е също равна на A.

1. Отражения спрямо диагоналите:
   a_ij→a_ji (транспониране)
   a_ij→a_N+1-j,N+1-i за i+j различно от N+1 и a_ij→a_ij за i+j=N+1
2. Отражения спрямо хоризонталната и вертикалната линии през центъра на квадрата:
   a_ij→a_N+1-i,j
   a_ij→a_i,N+1-j
3. Въртене на 90, 180 и 270 градуса (1/4, 2/4 и 3/4 въртене), съответно:
   a_ij→a_{N+1-i, N+1-j}
   a_ij→a_{N+1-j, N+1-i}
   a_ij→a_{N+1-j, i}
4. Линейното преобразование
   a_ij→A/2-a_ij,
   което заедно с тъжественото изображение са единствените полиномиални трансформации запазващи свойствата на квадрата.
   

Лема 1: С необходимост N=4 и A=34.
Опитайте да докажете тази лема (изключително просто е!) и тогава погледнете Божовото доказателство.

Лема 2: Общото решение на горната система уравнения за търсения квадрат е:

Където a, b, c и d са цели числа от 1 до 16, такива, че всички елементи на този квадрат трябва да са различни и да са в диапазона от 1 до 16.
Забележка: ако не се наложат тези условия, то квадрата има всички свойства на квадрата на Дюрер, но в общия случай може да има съвпадащи елементи и такива, които са извън диапазона от 1 до 16.
Доказателство: За N²=16 променливи (a_ij) имаме 4+8=12 независими уравнения. Ако за параметри изберем a=a₁₁, b=a₁₂, c=a₂₁и d=a₁₄, то дирекното решавене на горната проста система от линейни уравнения води до приведения квадрат.

Класическия квадрат на Дюрер се получава за a=16, b=3, c=5 и d=13. Въпрос на елементарна проверка е да се останови, че всички квадрати, описвани по горния начин имат всички свойстава на квадрата на Дюрер. Например в добавка към гореописаните свойства: сумите от 2x2 квадратите по краищата е 34, сумите от всеки 4 елемента, които са симетрични спрямо центъра е 34 (в частност, на тези по ъглите и от централния 2x2 квадрат) и сумата от 4 елемента отстоящи на през едно квадратче и съдържащи ъгловите числа е 34 (добри схеми илюстриращи описаните елементи можете да видите тук).,

Решенията са точно 384. Разбира се, не всички от тях са независими тъй като гореописаните симетрии дават възможност от един квадрат да се получат няколко квадрата със същите основни свойства. С точност до симетрия търсените квадрати са 12 (=384/32 ...?). И накрая, за да има още малко стимул за Вашето любопотство, покажете като използвате горните симетрии как числото 12 може да се получи от числото 86 (=2x48, 48=384/8 ...?) на начините, по които могат да се изберат 4 числа от 1 до 16, чиято сума е 34.

...
За малко да забравя.
Как ли изглеждат нещата за магически 3 мерен куб NxNxN, в частност за 4x4x4 куб?
Ами за n мерен NxNx...xN (n-пъти) куб?

Подсказване за n мерния случай:
Поискайте сумата от всеки два централно симетрични елемента да е равна на констнатата A/2^n-1 и покажете, че n мерния аналог на Лема 1 дава N=2ⁿ и A=2^n-1((2ⁿ)ⁿ +1). (Я, странно, за 4x4x4 куб задачата няма решение - то съществува само за 8x8x8 куб при n=3!)
После ... ами приятно главоблъскане!