|
|
→ Магическия квадрат на Албрехт Дюрер ←
- Единственост?! -
Даден е квадрат NxN, където N е цяло положително число, в който са записани числата от 1 до N2. Основно твърдение: Нека сумите от числата стоящи в първия и втория редове по отделно и в първата и втората колонки взети по отделно са равни на някакво число A и сумата от всеки елемент и симетричния му спрямо центъра елемент е постоянна и равна на A/2. Тогава N=4 и A=34, квадрата има всички свойства на квадрата на Дюрер и съществуват 384 такива квадрата, от които симетрично-независими са 12. За да влезем в стандартната терминология, вместо за квадрат ще говорим за квадратна матрица, чийто елементи ще означим с aij където i,j=1,...,N. Тогава споменатите в горното твърдение условия изглеждат така: a11 + a12 + ... + a1N = A Елементарни следсвия от тези уравнения са:
Лема 1: С необходимост N=4 и A=34. Лема 2: Общото решение на горната система уравнения за търсения квадрат е:
Където a, b, c и d са цели числа от 1 до 16, такива, че всички елементи на този квадрат трябва да са различни и да са в диапазона от 1 до 16. Класическия квадрат на Дюрер се получава за a=16, b=3, c=5 и d=13. Въпрос на елементарна проверка е да се останови, че всички квадрати, описвани по горния начин имат всички свойстава на квадрата на Дюрер. Например в добавка към гореописаните свойства: сумите от 2x2 квадратите по краищата е 34, сумите от всеки 4 елемента, които са симетрични спрямо центъра е 34 (в частност, на тези по ъглите и от централния 2x2 квадрат) и сумата от 4 елемента отстоящи на през едно квадратче и съдържащи ъгловите числа е 34 (добри схеми илюстриращи описаните елементи можете да видите тук)., Решенията са точно 384. Разбира се, не всички от тях са независими тъй като гореописаните симетрии дават възможност от един квадрат да се получат няколко квадрата със същите основни свойства. С точност до симетрия търсените квадрати са 12 (=384/32 ...?). И накрая, за да има още малко стимул за Вашето любопотство, покажете като използвате горните симетрии как числото 12 може да се получи от числото 86 (=2x48, 48=384/8 ...?) на начините, по които могат да се изберат 4 числа от 1 до 16, чиято сума е 34. ... |
® “СБОРИЩЕТО на физиците 1981” © ➜ Автор/От: Божидар Илиев (Божо) 2006—2024 |
|
|