КВАНТОВА ИНФОРМАТИКА

Материали по лекциите

Николай М. Николов

ПРИМЕРНИ ИЗБОРНИ ТЕМИ ЗА ПОДГОТОВКА: txt-формат, docx-формат

Съдържание

1. Увод
1. Квантови свойства, квантови събития, квантови множества
2. Квантово-логическите операции и тяхната недистрибутивност
3. Амплитуди вместо вероятности
4. Квантови изчисления
5. Квантова логика и квантови категории
6. Неотстраним индетерминизъм на наблюденията върху квантовите системи
7. Квантово сплитане и неговите приложения
Материали към лекцията
учебник: "A4 - cropped", "Малък формат - 1", "Малък формат - 2";
презентации: -
аудио-видео представяне: -
2. Аксиоми на общите квантови системи. Част 1: събития и състояния
1. Начална постановка
2. Илюстрации на началната постановка
3. Коментари по началната постановка
4. Аксиоми на отделимостта
5. Състоянията като функции от събитията
6. Смес на състояния
7. Първа илюстрация на понятието за смес на състояния
8. Чисти състояния
9. Преговор от теория на вероятностите
10. Геометрия на множеството на състоянията
11. Класически системи
Материали към лекцията
учебник: "A4 - cropped", "Малък формат - 1", "Малък формат - 2";
презентации: снимки на дъската (38MB);
аудио-видео представяне: -
3. Аксиоми на общите квантови системи. Част 2: логика на събитията
1. Частична наредба
2. Нула и единица
3. Логическите операции "и" и "или" за събития
4. Отрицанието
5. Общи закони на съждителното (пропозиционалното) смятане за събития
6. Орто-модуларност и допълнения
7. Състоянията като вероятности върху орто-решетката на събитията
8. Елементарни събития. Ниво на събитие. Ранг на системата
9. Закон за покриването
Материали към лекцията
учебник: "A4 - cropped", "Малък формат - 1", "Малък формат - 2";
презентации: 2-1 формат, 1-1 формат;
аудио-видео представяне: -
4. Понятия и структурна теория на квантово-логическия подход
1. Подрешетки и подсистеми
2. Над-системи и процеса на уточняване (прецизиране) на измерванията
3. Булеви подалгебри. Експерименти на системата
4. Комутируемост и съвместна измеримост
5. Дизюнктивни събития, разбивания на единицата и на събития
6. Максимални експерименти
Приложение: допълнителни сведения от теория на решетките
Материали към лекцията
учебник: "A4 - cropped", "Малък формат - 1", "Малък формат - 2";
презентации: редуцирана презентация (3MB), пълна презентация (12MB);
аудио-видео представяне
5. Наблюдаеми. Алгебричен подход към квантовата теория
1. Съпоставка между квантово-логическия и алгебричния подход
2. Понятие за наблюдаема (величина). Събитията като наблюдаеми
3. Исторически бележки
4. Съвместно измерими наблюдаеми и функции от тях
5. Статистическа сума на произволни (дори и на несъвместими) наблюдаеми
6. Проблемът с произведението. Квантово произведение
7. Математическото понятие за алгебра
8. Спрежение
9. *-Алгебри
10. Аксиоми на алгебричния подход
11. Основен пример на алгебра на наблюдаемите
Материали към лекцията
учебник: "A4 - cropped", "Малък формат - 1", "Малък формат - 2";
презентации: редуцирана презентация (4MB), пълна презентация (15.2MB);
аудио-видео представяне
6. Теория на алгебричния подход
1. Положителността и нейните разновидности в курса
2. Подалгебри, морфизми и изоморфизми на различните типове алгебри
3. Основна структурна теорема
4. Комутативния случай
5. Класическите системи в алгебричния подход
6. Вторият граничен случай на квантови системи: неприводимите или също, чисто квантовите системи
7. Подсистеми, надсистеми, експерименти, съвместна (едновременна) измеримост
8. Събитията в алгебричния подход
9. Логика и аритметика
10. Спектрална теорема. Спектър и спектрално разлагане на наблюдаема
Материали към лекцията
учебник: "A4 - cropped", "Малък формат - 1", "Малък формат - 2";
презентации: pdf (2.6MB);
аудио-видео представяне
7. Кубит. Формализъм на хилбертовите пространства в квантовата теория
1. Кубит: наблюдаеми, събития, сфера на Блох
2. Хилбертови пространства и линейни оператори в тях
1. Орто-нормирани базиси и разлагане на вектори в тях
2. Оператори и матрици
3. Бра--кет означения
4. Ортогонални проектори = самоспрегнати идемпотенти = събития
5. Орто-нормирани базиси в подпространства и разбиване на събития
6. Спектрална теорема за ермитови матрици
7. Неравенства на Коши--Шварц и приложенията им
8. Окончателно установяване на логическата наредба на събитията в алгебричния подход, както и нейното съвпадение с тази на квантово-логическия подход
3. Състояния: матрици на плътността и вектори на състояния
1. Общ вид на състояние чрез следата
2. Следа на матрица: определение и свойства
3. Характеризация на матриците на плътността
4. Поведение на матриците на плътността при смесване
5. Чисти състояния и вектори на състояния
6. 1-1 съответствие между елементарни събития и чисти състояния. Вероятност за преход
7. Състоянията на квантовия бит
4. Суперпозиция на вектори на състояния - различно от смес на състояния
5. Квантово "гасене" (интерференция) на вероятността
Материали към лекцията
учебник: "A4 - cropped", "Малък формат - 1", "Малък формат - 2";
презентации: pdf (5.6MB);
аудио-видео представяне: час 1 и 2, час 3
8. Съставни системи. Квантово сплитане. Неравенства на Бел
1. Обща постановка на съставна система
2. Тензорно произведение и произведение на Крьонекер
3. Свойства на тензорното произведение
4. Разложими и неразложими елементи на тензорни произведения. Квантовото сплитане
5. Как тензорното произведение дава модел на аксиомата за квантови съставни системи
6. Независимост на измерванията над отделните подсистеми в съставна в несплетени състояния
7. Квантови корелации на Бел
Материали към лекцията
учебник: "A4 - cropped", "Малък формат - 1", "Малък формат - 2";
презентации: pdf, (2MB) (с подпрезентация на стр. 1-5, 8MB) и допълнителна презентация (pdf, 250КB) за класическите неравенства на Бел;
аудио-видео представяне: час 1 и 2, час 3
9. Теория на измерването и проекционния постулат на фон Нойнман. Квантови трансформации
1. Теория на измерването
1. Началната постановка в теория на измерването. Итерационна повтаряемост на измерванията
2. Проекционния постулат
3. Квантови скокове
4. Формулата за условните средни стойности и коректността на проекционния постулат
5. Защо постулатът на Фон Нойман се нарича проекционен? Матрицата на плътността след измерване. Трансформация на чистите състояния след измерване
6. При настъпване на елементарни събития винаги състоянията се изчистват
7. Комутируемост при последователни измервания
8. Вероятност за следване на едно събитие след друго
9. Обосноваване на проекционния постулат от принципа за стабилизация
10. Вероятността за преход от гледна точка на теорията на измерването
11. Проекционния постулат формулиран за измерване на наблюдаеми
2. Квантови трансформации
1. Две картини: на Хайзенберг и на Шрьодингер
2. Унитарни трансформации и матрици (математическа теория)
3. Условие за съгласуваност между двете картини
4. Квантови трансформации в картината на Хайзенберг
5. Връзка между унитарните матрици и орто-нормираните базиси
Материали към лекцията
учебник: "A4 - cropped", "Малък формат - 1", "Малък формат - 2";
презентации: редуцирана презентация (2MB), пълна презентация (23MB);
аудио-видео представяне

1. Квантови изчисления: начална постановка
2. Система от няколко кубита: изчислителен базис
3. Система от няколко кубита: квантови трансформации. Квантови мрежи
1. Комбиниране на квантови трансформации
2. Примери
3. Операциите на пренареждане
4. Условни операции: "IF f = 1 THEN U ELSE 1"
4. Дискретна Фурие трансформация
1. Определение и свойства
2. Реализация с квантова мрежа
5. Първо понятие за квантов алгоритъм
Материали към лекцията
учебник: "A4 - cropped", "Малък формат - 1", "Малък формат - 2";
презентации: редуцирана презентация (1.83MB), пълна презентация (8.84MB);
аудио-видео представяне

Литература

[Bi73] Birkhoff G., Lattice Theory, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1st ed. 1940, 3d ed. 1973

[BN36] Birkhoff G., von Neumann J., The Logic of Quantum Mechanics, Ann . Math. 2nd Ser. 37 No4 (1936) pp. 823-843

[De85] Deutsch D., Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer, (1985)

[Di30] Dirac P.A.M., The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1st ed. 1930, 4th. ed. 1967

[Fe82] Feynman R.P., Simulating physics with computers, 1982

[JNW34] Jordan P., von Neumann J. and Wigner E., On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism, Ann. Math. 2nd Ser. 35 (1934) pp. 29-64

[Pi76] Piron C., Foundations Of Quantum Physics, W.A. Benjamin, Inc., London 1976

[vN32] von Neumann J., Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Springer 1932 (german); english translation by Princeton University Press 1955, 2018

София, септември 2022